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1.简介

K-means算法是最为经典的基于划分的聚类方法，是十大经典数据挖掘算法之一。K-means算法的基本思想是：以空间中k个点为中心进行聚类，对最靠近他们的对象归类。通过迭代的方法，逐次更新各聚类中心的值，直至得到最好的聚类结果。

2. 算法大致流程为：

1）随机选取k个点作为种子点(这k个点不一定属于数据集)

2）分别计算每个数据点到k个种子点的距离，离哪个种子点最近，就属于哪类

3）重新计算k个种子点的坐标(简单常用的方法是求坐标值的平均值作为新的坐标值)

4）重复2、3步，直到种子点坐标不变或者循环次数完成

3.完整计算过程

1）设置实验数据

运行之后，效果如下图所示：

在图中，ABCDE五个点是待分类点，k1、k2是两个种子点。

2）计算ABCDE五个点到k1、k2的距离，离哪个点近，就属于哪个点，进行初步分类。

结果如图：

A、B属于k1，C、D、E属于k2

3）重新计算k1、k2的坐标。这里使用简单的坐标的平均值，使用其他算法也可以(例如以下三个公式)

a）Minkowski Distance公式——λ可以随意取值，可以是负数，也可以是正数，或是无穷大。

b）Euclidean Distance公式——也就是第一个公式λ=2的情况

c）CityBlock Distance公式——也就是第一个公式λ=1的情况

采用坐标平均值算法的结果如图：

4）重复2、3步，直到最终分类完毕。下面是完整的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

##样本数据(Xi,Yi)，需要转换成数组(列表)形式
Xn=np.array([2,3,1.9,2.5,4])
Yn=np.array([5,4.8,4,1.8,2.2])

#标识符号
sign_n = ['A','B','C','D','E']
sign_k = ['k1','k2']

def start_class(Xk,Yk):
    ##数据点分类
    cls_dict = {}
    ##离哪个分类点最近，属于哪个分类
    for i in range(len(Xn)):
        temp = []
        for j in range(len(Xk)):
            d1 = np.sqrt((Xn[i]-Xk[j])*(Xn[i]-Xk[j])+(Yn[i]-Yk[j])*(Yn[i]-Yk[j]))
            temp.append(d1)
        min_dis=np.min(temp)
        min_inx = temp.index(min_dis)
        cls_dict[sign_n[i]]=sign_k[min_inx]
    #print(cls_dict)
    return cls_dict
    
##重新计算分类的坐标点
def recal_class_point(Xk,Yk,cls_dict):  
    num_k1 = 0  #属于k1的数据点的个数
    num_k2 = 0  #属于k2的数据点的个数
    x1 =0       #属于k1的x坐标和
    y1 =0       #属于k1的y坐标和
    x2 =0       #属于k2的x坐标和
    y2 =0       #属于k2的y坐标和

    ##循环读取已经分类的数据
    for d in cls_dict:
        ##读取d的类别
        kk = cls_dict[d]
        if kk == 'k1':
            #读取d在数据集中的索引
            idx = sign_n.index(d)
            ##累加x值
            x1 += Xn[idx]
            ##累加y值
            y1 += Yn[idx]
            ##累加分类个数
            num_k1 += 1
        else :
            #读取d在数据集中的索引
            idx = sign_n.index(d)
            ##累加x值
            x2 += Xn[idx]
            ##累加y值
            y2 += Yn[idx]
            ##累加分类个数
            num_k2 += 1
    ##求平均值获取新的分类坐标点
    k1_new_x = x1/num_k1 #新的k1的x坐标
    k1_new_y = y1/num_k1 #新的k1的y坐标

    k2_new_x = x2/num_k2 #新的k2的x坐标
    k2_new_y = y2/num_k2 #新的k2的y坐标

    ##新的分类数组
    Xk=np.array([k1_new_x,k2_new_x])
    Yk=np.array([k1_new_y,k2_new_y])
    return Xk,Yk

def draw_point(Xk,Yk,cls_dict):
    #画样本点
    plt.figure(figsize=(5,4)) 
    plt.scatter(Xn,Yn,color="green",label="数据",linewidth=1)
    plt.scatter(Xk,Yk,color="red",label="分类",linewidth=1)
    plt.xticks(range(1,6))
    plt.xlim([1,5])
    plt.ylim([1,6])
    plt.legend()
    for i in range(len(Xn)):
        plt.text(Xn[i],Yn[i],sign_n[i]+":"+cls_dict[sign_n[i]])
        for i in range(len(Xk)):
            plt.text(Xk[i],Yk[i],sign_k[i])
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    ##种子
    Xk=np.array([3.3,3.0])
    Yk=np.array([5.7,3.2])
    for i in range(3):
        cls_dict =start_class(Xk,Yk)
        Xk_new,Yk_new =recal_class_point(Xk,Yk,cls_dict)
        Xk=Xk_new
        Yk=Yk_new
        draw_point(Xk,Yk,cls_dict)

最终分类结果：

由上图可以看出，C点最终是属于k1类，而不是开始的k2.

4.K-Means的不足

K-Means算法的不足，都是由初始值引起的：

1）初始分类数目k值很难估计，不确定应该分成多少类才最合适(ISODATA算法通过类的自动合并和分裂，得到较为合理的类型数目k。这里不讲这个算法)

2）不同的随机种子会得到完全不同的结果(K-Means++算法可以用来解决这个问题，其可以有效地选择初始点)

5.K-Means++算法

算法流程如下：

1）在数据集中随机挑选1个点作为种子点

##随机挑选一个数据点作为种子点
def select_seed(Xn):
    idx = np.random.choice(range(len(Xn)))
    return idx

2）计算剩数据点到这个点的距离d(x),并且加入到列表

##计算数据点到种子点的距离
def cal_dis(Xn,Yn,idx):
    dis_list = []
    for i in range(len(Xn)):       
        d = np.sqrt((Xn[i]-Xn[idx])**2+(Yn[i]-Yn[idx])**2)
        dis_list.append(d)
    return dis_list

3）再取一个随机值。这次的选择思路是：先取一个能落在上步计算的距离列表求和后(sum(dis_list))的随机值rom，然后用rom -= d(x)，直到rom<=0，此时的点就是下一个“种子点”

##随机挑选另外的种子点
def select_seed_other(Xn,Yn,dis_list):
    d_sum = sum(dis_list)
    rom = d_sum * np.random.random()
    idx = 0
    for i in range(len(Xn)):
        rom -= dis_list[i]
        if rom > 0 :
            continue
        else :
            idx = i
    return idx

4）重复第2步和第3步，直到选出k个种子

5）进行标准的K-Means算法。下面完整代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

##样本数据(Xi,Yi)，需要转换成数组(列表)形式
Xn=np.array([2,3,1.9,2.5,4])
Yn=np.array([5,4.8,4,1.8,2.2])

#标识符号
sign_n = ['A','B','C','D','E']
sign_k = ['k1','k2']

##随机挑选一个数据点作为种子点
def select_seed(Xn):
    idx = np.random.choice(range(len(Xn)))
    return idx
    
##计算数据点到种子点的距离
def cal_dis(Xn,Yn,idx):
    dis_list = []
    for i in range(len(Xn)):       
        d = np.sqrt((Xn[i]-Xn[idx])**2+(Yn[i]-Yn[idx])**2)
        dis_list.append(d)
    return dis_list

##随机挑选另外的种子点
def select_seed_other(Xn,Yn,dis_list):
    d_sum = sum(dis_list)
    rom = d_sum * np.random.random()
    idx = 0
    for i in range(len(Xn)):
        rom -= dis_list[i]
        if rom > 0 :
            continue
        else :
            idx = i
    return idx

##选取所有种子点
def select_seed_all(seed_count):
     ##种子点
    Xk = []  ##种子点x轴列表
    Yk = []  ##种子点y轴列表
    
    idx = 0  ##选取的种子点的索引
    dis_list = [] ##距离列表
    
    
    ##选取种子点
    #因为实验数据少，有一定的几率选到同一个数据，所以加一个判断
    idx_list = []
    flag = True
    for i in range(seed_count):
        if i == 0:
             idx = select_seed(Xn)
             dis_list = cal_dis(Xn,Yn,idx)
             Xk.append(Xn[idx])
             Yk.append(Yn[idx])
             idx_list.append(idx)
        else :
            while flag:
                idx = select_seed_other(Xn,Yn,dis_list)
                if idx not in idx_list:
                    flag = False
                else :
                    continue
            dis_list = cal_dis(Xn,Yn,idx)
            Xk.append(Xn[idx])
            Yk.append(Yn[idx])
            idx_list.append(idx)
                
    ##列表转成数组       
    Xk=np.array(Xk)
    Yk=np.array(Yk)

    return Xk,Yk
    

def start_class(Xk,Yk):
    ##数据点分类
    cls_dict = {}
    ##离哪个分类点最近，属于哪个分类
    for i in range(len(Xn)):
        temp = []
        for j in range(len(Xk)):
            d1 = np.sqrt((Xn[i]-Xk[j])*(Xn[i]-Xk[j])+(Yn[i]-Yk[j])*(Yn[i]-Yk[j]))
            temp.append(d1)
        min_dis=np.min(temp)
        min_inx = temp.index(min_dis)
        cls_dict[sign_n[i]]=sign_k[min_inx]
    #print(cls_dict)
    return cls_dict
    
##重新计算分类的坐标点
def recal_class_point(Xk,Yk,cls_dict):  
    num_k1 = 0  #属于k1的数据点的个数
    num_k2 = 0  #属于k2的数据点的个数
    x1 =0       #属于k1的x坐标和
    y1 =0       #属于k1的y坐标和
    x2 =0       #属于k2的x坐标和
    y2 =0       #属于k2的y坐标和

    ##循环读取已经分类的数据
    for d in cls_dict:
        ##读取d的类别
        kk = cls_dict[d]
        if kk == 'k1':
            #读取d在数据集中的索引
            idx = sign_n.index(d)
            ##累加x值
            x1 += Xn[idx]
            ##累加y值
            y1 += Yn[idx]
            ##累加分类个数
            num_k1 += 1
        else :
            #读取d在数据集中的索引
            idx = sign_n.index(d)
            ##累加x值
            x2 += Xn[idx]
            ##累加y值
            y2 += Yn[idx]
            ##累加分类个数
            num_k2 += 1
    ##求平均值获取新的分类坐标点
    k1_new_x = x1/num_k1 #新的k1的x坐标
    k1_new_y = y1/num_k1 #新的k1的y坐标

    k2_new_x = x2/num_k2 #新的k2的x坐标
    k2_new_y = y2/num_k2 #新的k2的y坐标

    ##新的分类数组
    Xk=np.array([k1_new_x,k2_new_x])
    Yk=np.array([k1_new_y,k2_new_y])
    return Xk,Yk

def draw_point(Xk,Yk,cls_dict):
    #画样本点
    plt.figure(figsize=(5,4)) 
    plt.scatter(Xn,Yn,color="green",label="数据",linewidth=1)
    plt.scatter(Xk,Yk,color="red",label="分类",linewidth=1)
    plt.xticks(range(1,6))
    plt.xlim([1,5])
    plt.ylim([1,6])
    plt.legend()
    for i in range(len(Xn)):
        plt.text(Xn[i],Yn[i],sign_n[i]+":"+cls_dict[sign_n[i]])
        for i in range(len(Xk)):
            plt.text(Xk[i],Yk[i],sign_k[i])
    plt.show()

def draw_point_all_seed(Xk,Yk):
    #画样本点
    plt.figure(figsize=(5,4)) 
    plt.scatter(Xn,Yn,color="green",label="数据",linewidth=1)
    plt.scatter(Xk,Yk,color="red",label="分类",linewidth=1)
    plt.xticks(range(1,6))
    plt.xlim([1,5])
    plt.ylim([1,6])
    plt.legend()
    for i in range(len(Xn)):
        plt.text(Xn[i],Yn[i],sign_n[i])
    plt.show()

if __name__ == "__main__":

     ##选取2个种子点
     Xk,Yk = select_seed_all(2)
     ##查看种子点
     draw_point_all_seed(Xk,Yk)
     ##循环三次进行分类
     for i in range(3):
        cls_dict =start_class(Xk,Yk)
        Xk_new,Yk_new =recal_class_point(Xk,Yk,cls_dict)
        Xk=Xk_new
        Yk=Yk_new
        draw_point(Xk,Yk,cls_dict)

如图所示，选择了A、E两点作为种子点。

最终的结果。

补充说明：因为数据量太少，在选取所有种子函数的while阶段有可能陷入死循环，所以需要关闭代码重新运行才可以出结果。

6.sklearn包中的K-Means算法

1）函数：sklearn.cluster.KMeans

2）主要参数

n_clusters：要进行的分类的个数，即上文中k值，默认是8

max_iter ：最大迭代次数。默认300

min_iter ：最小迭代次数，默认10

init：有三个可选项

‘k-means ++’：使用k-means++算法，默认选项

‘random’:从初始质心数据中随机选择k个观察值

第三个是数组形式的参数

n_jobs: 设置并行量（-1表示使用所有CPU）

3）主要属性：

cluster_centers_ ：集群中心的坐标

labels_ : 每个点的标签

4）官网示例：

>>> from sklearn.cluster import KMeans
>>> import numpy as np
>>> X = np.array([[1, 2], [1, 4], [1, 0],
...               [4, 2], [4, 4], [4, 0]])
>>> kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0).fit(X)
>>> kmeans.labels_
array([0, 0, 0, 1, 1, 1], dtype=int32)
>>> kmeans.predict([[0, 0], [4, 4]])
array([0, 1], dtype=int32)
>>> kmeans.cluster_centers_
array([[ 1.,  2.],
       [ 4.,  2.]])

End

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